已知实数a≠0，函数f（x）=a（x-2）2+2lnx，g（x）=f（x）-4a+14a．（1）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间[1，4]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若当x∈[2，+∞）时，

Question

已知实数a≠0，函数f（x）=a（x-2）²+2lnx，g（x）=f（x）-4a+(1)/(4a)．
（1）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间[1，4]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若当x∈[2，+∞）时，函数g（x）图象上的点均在不等式

x≥2

y≥x

，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x²-4x+4+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x-4+(2)/(x)=(2(x−1)2)/(x)；
∵x＞0，∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）∵f（x）=ax²-4ax+4a+2lnx，
∴f′（x）=2ax-4a+(2)/(x)=(2ax2−4ax+2)/(x)；
又∵f（x）在[1，4]上是增函数，
∴在[1，4]上f′（x）≥0恒成立，即2ax²-4ax+2≥0在[1，4]上恒成立①；
令g（x）=2ax²-4ax+2，则g（x）=2a（x-1）²-2a+2，
当a＞0时，要使①成立，只需g（1）≥0，即-2a+2≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1；
当a＜0时，要使①成立，只需g（4）≥0，即16a+2≥0，解得a≥-(1)/(8)，∴-(1)/(8)≤a＜0；
综上，-(1)/(8)≤a＜0或0＜a≤1．
（3）由题意，使a（x-2）²+2lnx-4a+(1)/(4a)≥x在[2，+∞）上恒成立，
令h（x）=a（x-2）²+2lnx-4a+(1)/(4a)-x，则h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立②；
∴h′（x）=2ax-4a+(2)/(x)-1，即h′（x）=((x−2)(2ax−1))/(x)；
（i）当a＜0时，∵x＞2，∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[2，+∞）上是减函数，且h（4）=2ln4-4+(1)/(4a)＜0，
∴②不成立；
（ii）当0＜a＜(1)/(4)时，2＜(1)/(2a)，此时h（x）在[2，(1)/(2a)]上是减函数，在[(1)/(2a)，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（(1)/(2a)）=a((1)/(2a)−2)2+2ln(1)/(2a)-4a+(1)/(4a)-(1)/(2a)=-2-ln2a，
∴只需-2-2ln2a≥0，解得a≤(1)/(2e)；∴0＜a≤(1)/(2e)时②成立；
（iii）当a≥(1)/(4)时，2≥(1)/(2a)，此时h（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（2）=2ln2-4a+(1)/(4a)-2，
∵-4a+(1)/(4a)≤0，2ln2-2＜0，∴h（x）_min=h（2）＜0，∴②不成立；
综上，0＜a≤(1)/(2e)．