已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=x3+x2[m2+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极

Question

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=x3+x2[(m)/(2)+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=(a(1−x))/(x)，
当a<0时，令f′（x）=(a(1−x))/(x)>0，即(1−x)/(x)<0，解得增区间为（1，+∞），
减区间为（0，1）；
当a>0时，令f′（x）=(a(1−x))/(x)>0，即(1−x)/(x)>0，解得增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
当a=0时，f（x）不是单调函数；
（II）∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
∴f′（2）=(a(1−2))/(2)=tan45°=1，
∴a=-2，
f′（x）=(−2(1−x))/(x)＝(2(x−1))/(x)，
g（x）=x³+x²（(m)/(2)+(2(x−1))/(x)）=x³+（(m)/(2)+2）x²-2x，
g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2<0，要使函数g（x）=x³+x²[(m)/(2)+f′（x）]在区间（2，3）上总存在极值，
只需

g′(2)<0

g′(3)>0

，
解得-(37)/(3)<m<-9；