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已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R)。(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对任意的t∈[1,2],若函数g(x)=x3+x2[f′(x)+]
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已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R)。 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对任意的t∈[1,2],若函数g(x)=x 3 +x 2 [f′(x)+ ]在区间(t,3)上有最值,求实数m取值范围; (3)求证: )(n∈N*且n>1)。 |
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答案和解析
(1) , 当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞); 当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(0,1]; 当a=0时,f(x)不是单调函数; (2) 得a=-2, ∴ , ∴ , ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g(0)=-2, ∴ , 由题意知:对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立, 所以, , ∴ ; (3)令a=-1此时 ,所以f(1)=-2, 由(1)知 在(1,+∞)上单调递增, ∴当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1), 即 , ∴ ,对一切x∈(1,+∞)成立, 取 ,则 ,即 ,(n≥2), ∴ 。 |
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