已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|。

Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax ² +1。
 （I）讨论函数f（x）的单调性；
 （Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x ₁ ，x ₂ ∈（0，+∞），|f（x ₁ ）-f（x ₂ ）|≥4|x ₁ -x ₂ |。

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为

当a≥0时， ，故f（x）在 单调增加
当a≤-1时， ，故f（x）在 单调减少
当-1<a<0时，令 ，解得
则当 时，
时，
故f（x）在 单调增加，在 单调减少；
（Ⅱ）不妨假设x ₁ >x ₂
由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调减少
所以|f（x ₁ ）-f（x ₂ ）|≥4|x ₁ -x ₂ |等价于 f（x ₂ ）-f（x ₁ ）≥4x ₁ -4x ₂
即f（x ₂ ）+4x ₂ ≥f（x ₁ ）+4x ₁
令g（x）=f（x）+4x，则

于是
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x ₁ ）≤g（x ₂ ）
即f（x ₁ ）+4x ₁ ≤f（x ₂ ）+4x ₂
故对任意x ₁ ，x ₂ ∈（0，+∞），|f（x ₁ ）-f（x ₂ ）|≥4|x ₁ -x ₂ |。