已知f（x）=xlnx．（1）证明：当x≥1时，2x-e≤f（x）恒成立（e为常数）；（2）讨论g（x）=f(x)+kx（k∈R）的单调性．

Question

已知f（x）=xlnx．
（1）证明：当x≥1时，2x-e≤f（x）恒成立（e为常数）；
（2）讨论g（x）=(f(x)+k)/(x)（k∈R）的单调性．

Answer 1

（1）2x-e≤f（x）恒成立，
⇔f（x）-2x+e≥0恒成立，
令g（x）=f（x）-2x+e=xlnx-2x+e，
∴g′（x）=lnx-1=0，得x=e，
∴当1＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）在（1，e）上单调递减，
当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（e）=0，
∴g（x）≥0，即f（x）≥2x-e．
（2）由题意得x∈（0，+∞），
g（x）=(f(x)+k)/(x)=lnx+(k)/(x)，
∴g′（x）=(1)/(x)-(k)/(x2)=(x−k)/(x2)，
∴当k≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当k＞0时，g′（x）＞0，可得x＞k，g′（x）＜0，可得0＜x＜k，
∴g（x）在（k，+∞）上单调递增，
g（x）在（0，k）上单调递减．