函数单调性问题若f(x)的导数f'(x)在(0,+∞)内是严格单调递增的,且f(0)=0,证明(f(x))/x在(0,+∞)内是严格单调递增的.

Question

函数单调性问题
若f(x)的导数f'(x)在(0,+∞)内是严格单调递增的,且f(0)=0,证明(f(x))/x在(0,+∞)内是严格单调递增的.

Answer 1

如果f二阶可导的话,直接对f(x)/x求导就有[xf'(x)-f(x)]/x^2,令F(x)=xf'(x)-f(x),则F'(x)=xf''(x),由f'严格单增有f''>0恒成立,故F'严格大于0,因此F单增,又F(0)=0,因而F在(0,+∞)恒正,故f(x)/x的导数恒正,也即f(x)/x在(0,+∞)严格单增.