f(x)=x^2+ax-lnx令g(x)=f(x)/e^x若函数g(x)在区间(0,1)上是减函数,求a的取值范围

Question

f(x)=x^2+ax-lnx 令g(x)=f(x)/e^x若函数g(x)在区间(0,1)上是减函数,求a的取值范围

Answer 1

只需要令求导后分子为2x-x^2-1/x+(1-x)a+lnx≤0在(0,1)上恒成立,即（1-x）a≤x^2-2x-lnx+1/x=(x^2-2x+1)-lnx+(1/x-1)=(1-x)^2+(1-x)/x-lnx
两边同除以（1-x）得：a≤1-x+1/x-lnx/(1-x)只需要a≤y=1-x+1/x+lnx/(x-1)的最小值,对y=1-x+1/x+lnx/(x-1)因为x-1≥lnx,故lnx/（x-1）≥1,容易证明1-x+1/x≥1,故y=1-x+1/x+lnx/(x-1)≥2,只需要a≤2即可
故a的取值范围是【2,+∞）