设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数（其中e≥2.71828）（1）求a的值；（2）证明f(x)在（0,+∞）上为增函数.

Question

设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数（其中e≥2.71828）
（1）求a的值；
（2）证明f(x)在（0,+∞）上为增函数.

Answer 1

(1)由偶函数可得
f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(ae^x)+a*e^x=f(x)=e^x/a+a/e^x
比较 1/e^x和e^x的系数可得
a=1或a=-1,由a>0的条件a=1
所以f(x)=1/e^x+e^x
(2)
f'(x)=-e^(-x)+e^x
由x属于（0,+∞）,此时,e^x>=e^(-x)
所以f'(x)>0
所以f(x)在（0,+∞）上为增函数.