已知函数f（x）=ax−1ax+1（a＞1）（1）判断函数f（x）的奇偶性（2）求f（x）的值域（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Question

已知函数f（x）=(ax−1)/(ax+1)（a＞1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）求f（x）的值域
（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为R，
f（-x）=(a−x−1)/(a−x+1)＝(1−ax)/(1+ax)＝−f(x)，
∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=(ax−1)/(ax+1)＝(ax+1−2)/(ax+1)＝1−(2)/(ax+1)．
∴a^x＞0，∴0＜(2)/(ax+1)＜2，
∴-1＜1-(2)/(ax+1)＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）
（3）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=(ax1−1)/(ax1+1)−(ax2−1)/(ax2+1)
=((ax1−1)(ax2+1)−(ax1+1)(ax2−1))/((ax1+1)(ax2+1))＝(2(ax1−ax2))/((ax1+1)(ax2+1))
∵a＞1，x₁＜x₂，∴ax1＜ax2
又∵ax1+1＞0，  ax2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．