定义：若h(x)xk在[k，+∞）上为增函数，则称h（x）为“k次比增函数”，其中k∈N*，已知f（x）=x3+2ax2+ax，g（x）=ex-ax．（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函数”，又是“2次比增函数”，求实数a的取

Question

定义：若(h(x))/(xk)在[k，+∞）上为增函数，则称h（x）为“k次比增函数”，其中k∈N^*，已知f（x）=x³+2ax²+ax，g（x）=e^x-ax．
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函数”，又是“2次比增函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数g（x）在[m-1，m]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）是“1次比增函数”，
∴(f(x))/(x)=x²+2ax+a在[1，+∞）上为增函数，
∴-a≤1，∴a≥-1，
∵f（x）是“2次比增函数”，则(f(x))/(x2)=x+(a)/(x)+2a在[2，+∞）为增函数，
则（x+(a)/(x)+2a）′=1-(a)/(x2)≥0在[2，+∞）恒成立，
∴a≤x²在[2，+∞）恒成立，∴a≤4，
综上a的取值范围为[-1，4]．
（2）当a=1时，函数g（x）=e^x-x
g′（x）=e^x-1，
由g′（x）＞0，得x＞0；由g′（x）＜0，得x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
①当m-1＜0＜m，即0＜m＜1时，g（x）在[m-1，0]上单调递减，在[0，m]上单调递增，
∴g（x）_min=g（0）=1，
②当m-1≥0，即m≥0时，g（x）在[m-1，m]上单调递增，
∴g（x）_min=g（m-1）=e^m-1-m+1．
综上，当m-1＜0＜m，g（x）_min=1，
当m≥0时，∴g（x）_min=g（m-1）=e^m-1-m+1．