（2012•包头一模）设函数f（x）=ln（x+1）+ae-x-a，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，证明f（x）在（0，+∞）是增函数；（Ⅱ）若x∈[0，+∞），f（x）≥0，求a的取值范围．

Question

（2012•包头一模）设函数f（x）=ln（x+1）+ae^-x-a，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，证明f（x）在（0，+∞）是增函数；
（Ⅱ）若x∈[0，+∞），f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝(1)/(1+x)−(a)/(ex)＝(ex−a(1+x))/(ex(1+x))，
当a=1时，f′(x)＝(ex−(1+x))/(ex(1+x))，---------（2分）
令g（x）=e^x-1-x，则g′（x）=e^x-1，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）=e^x-1＞0，所以g（x）在（0，+∞）为增函数，
因此x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，+∞）是增函数．---------（6分）
（2）由f′(x)＝(ex−a(1+x))/(ex(1+x))，
由（1）知，e^x≥1+x，当且仅当x=0等号成立．
故f′(x)≥(1+x−a(1+x))/(ex(1+x))＝((1−a)(1+x))/(ex(1+x))，
从而当1-a≥0，即a≤1时，对x∈[0，+∞），f′（x）≥0，
于是对∀x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0．
由e^x＞1+x（x≠0），得e^-x＞1-x（x≠0），
从而当a＞1时，

f′(x)＜(ex−a+ae−x−a)/(ex(1+x))＝(e2x−2aex+a)/(e2x(1+x))

=

((ex−a+√(a2−a))(ex−a−√(a2−a)))/(e2x(1+x))

故当

作业帮用户 2016-12-16