证明：闭区间上的连续函数能取到最大值和最小值．

Question

证明：闭区间上的连续函数能取到最大值和最小值．

Answer 1

证明：设函数f在闭区间[a，b]上连续，记M=sup{f（x），x∈[a，b]，m=inf{f（x），x∈[a，b]}，
则必存在x*，x_*∈[a，b]，使得f（x*）=M，f（x_*）=m．
也就是说，有界闭区间上的连续函数必能取到它在这个区间上的最大值和最小值．
现证明如下
因为函数f在闭区间[a，b]上连续，
所以函数f在闭区间[a，b]上有界，
即数集{f（x）：x∈[a，b]}有界，
利用确界原理，{f（x）：x∈[a，b]}存在上确界和下确界，m和M都是有限数．
显然m≤f（x）≤M（∀x∈[a，b]），
考察上确界M=sup{f（x），x∈[a，b]，m=inf{f（x），x∈[a，b]}，
根据上确界的定义，
对任意n∈N^*，
必定存在x_n∈[a，b]，使得M-(1)/(n)<f(xn)≤M；
由于a≤x_n≤b，{x_n}有界，
根据列紧性定理，存在一个子列{xnk}和一点x^*∈[a，b]，使得{xnk}，
由于f在x^*处连续，所以有

lim

k→∞

f(xnk)=f(x*)，（存在且有限）
在不等式M-(1)/(nk)<f(xnk)≤M
的两端让k→∞，得出M≤f（x^*）≤M
故存在x^*∈[a，b]，使得 f（x^*）=M．
同理可证存在x_*∈[a，b]，使得f（x_*）=m．