导函数连续问题函数f（x）在开区间（a,b）内可导,导函数是否一定连续?不连续请举例.

Question

导函数连续问题
函数f（x）在开区间（a,b）内可导,导函数是否一定连续?不连续请举例.

Answer 1

　　导函数未必连续.有个反例：
　　函数f(x)定义为
f(x) = x^2*sin(1/x),当x不等于0时,
= 0,当x = 0时.
该函数在(-∞,+∞)处处可导,导数是
　f'(x) = 2xsin(1/x)-cos(1/x),当x不等于0时,
= 0,当x = 0时.
（当x = 0时,f'(x) = lim(x->0){[f(x)-f(0)]/(x-0)} = lim(x->0)[xsin(1/x)] = 0.）
看到
lim(x->0)f'(x)
不存在,所以f'(x)在x = 0点处的值存在但不连续.