已知函数f（x）=（a-1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x-1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1<x2），

Question

已知函数f（x）=（a-1）x^a（a∈R），g（x）=|lgx|．
（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；
（Ⅱ）关于x的方程g（x-1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x₁，x₂（x₁<x₂），求a+(1)/(x1)+(1)/(x2)的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=（a-1）x^a（a∈R），f（x）是幂函数，
∴由题有a-1=1，得a=2；-------------2’
∴f（x）=x²的单调递减区间为（-∞，0）-------------4’
（Ⅱ）方程g（x-1）+f（1）=0化为g（x-1）=1-a，
由题意函数y=g（x-1）与y=1-a在x∈（1，3）上有两不同交点．----------5’
y=g（x-1）=|lg（x-1）|=

lg(x-1)，x≥2

-lg(x-1)，1<x<2

；-------------------7’
在x∈（1，2]时，y=g（x-1）单调递减，
又y=g（x-1）∈[0，+∞），
在x∈[2，3）时，y=g（x-1）单调递增，
y=g（x-1）∈[0，lg2），----------------9’
所以0<1-a<lg2，即1-lg2<a<1，--------------------------11’
由x₁<x₂，可知x₁∈（1，2），x₂∈（2，3），
且

-lg(x1-1)=1-a

lg(x2-1)=1-a

即

lg(x1-1)=-(1-a)

lg(x2-1)=1-a

相加消去a，可得lg（x₁-1）+lg（x₂-1）=0，
即（x₁-1）（x₂-1）=1，
展开并整理得x₁x₂=x₁+x₂，即(1)/(x1)+(1)/(x2)=1．--------------------14’
所以a+(1)/(x1)+(1)/(x2)的取值范围为（2-lg2，2）．------------------16’