单调函数一定有反函数?反之呢?

Question

单调函数一定有反函数?
反之呢?

Answer 1

函数f(x)(x属于R)存在反函数等价于自变量与函数值一定一一对应,但不一定单调 如y=1/x反函数就是y=1/x,但在定义域上不单调 相反,单调函数一定一一对应,因此必定存在反函数. 所以“函数f(x)(x属于R)存在反函数”,是“函数f(x)在R上单调”的必要非充分条件 单调函数必有反函数,但为何有反函数的不一定是单调函数 这个应当从映射分析. 存在反函数的函数,定义域到值域是1-1对应或者叫双射.定义域和值域分别为D,B,若对于x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B.那么就叫做1-1对应或双射【注意,这里的集合已经压缩到定义域和值域了,满射就能保证了】.这样的映射关系,存在一个逆映射,即存在反函数. 若函数是单调的,无论是增还是减,都能保证x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,因此单调函数存在反函数. 但是反过来：x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,能不能推出对于所有的x∈D,存在x1＞x2,f(x1)＞f(x2),或f(x1)＜f(x2)其中一个呢?不能了.已知x1≠x2,只能确定地得到f(x1)≠f(x2),至于大小关系是无法确定的. 函数单调性是存在反函数的充分非必要条件.