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高数三个向量a,b,c.已知(a×b)c=2,则[(a+b)×(b×c)](c+a)等于多少?麻烦写下详细的步骤及原因
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高数
三个向量 a ,b ,c .已知(a×b)c=2,则[(a+b)×(b×c)](c+a)等于多少?麻烦写下详细的步骤及原因
三个向量 a ,b ,c .已知(a×b)c=2,则[(a+b)×(b×c)](c+a)等于多少?麻烦写下详细的步骤及原因
▼优质解答
答案和解析
本题所用知识：1、混合积有轮换对称性
(a×b)c=2,则(b×c)a=(c×a)b=2
2、平行向量叉乘结果为0,再由于混合积的轮换对称性知：混合积中三向量若出现两个平行,则结果一定是0
[(a+b)×(b×c)](c+a)=(a×b)c+(b×b)c+(a×c)c+(b×c)c+(a×b)a+(b×b)a+(a×c)a+(b×c)a
=(a×b)c+0+0+0+0+0+0+(b×c)a=(a×b)c+(b×c)a=2+2=4
(a×b)c=2,则(b×c)a=(c×a)b=2
2、平行向量叉乘结果为0,再由于混合积的轮换对称性知：混合积中三向量若出现两个平行,则结果一定是0
[(a+b)×(b×c)](c+a)=(a×b)c+(b×b)c+(a×c)c+(b×c)c+(a×b)a+(b×b)a+(a×c)a+(b×c)a
=(a×b)c+0+0+0+0+0+0+(b×c)a=(a×b)c+(b×c)a=2+2=4
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