函数的周期性与对称性定义在R上的奇函数f(x)满足f(4-x)=f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则有f(-25)

Question

函数的周期性与对称性
定义在R上的奇函数f(x) 满足f(4-x)=f(x) 且在区间[0,2]上是增函数,则有f(-25)

Answer 1

你问对人了,图像不是一条直线,是分段函数,你认真画图是存在的,我个人有结论：
奇函数+对称可得周期函数周期为对称的4倍(1)
偶函数+对称可得周期函数周期为对称的2倍(2)
逆向也成立这里不做扩大讲解,我给你证明上述结论
证命题(1) 函数关于x=a对称则有 f(2a+x)=f(0-x)
奇函数性质代入 得 f(x+2a)=f(-x)=-f(x)
用x+2a替代x 得 f(x+4a)=-f(x+2a)=-(-f(x))=f(x) 即f(x+4a)=f(x)为周期函数且周期4a
证命题(2) 函数关于x=a对称则有 f(2a+x)=f(0-x)
偶函数性质代入 得 f(x+2a)=f(-x)=f(x) 即f(x+2a)=f(x)为周期函数且周期2a
现在解决你的题目：f(-25)=f(-1) f(80)=f(0) f(11)=f(3)=f(1)(因为函数关于x=2对称)
因为是奇函数,定义域包含0所以f(0)=0(这个是常识,如果假设不等于0就出现了当x=0时y取两个值违背了函数不能一对二的原则)
奇函数不改变单调性[-2,0]也是增函数
所以f(-1)