B如图所示，两物体的质量分别为M和m（M＞m），用细绳连接后跨在半径为R的固定光滑半圆柱体上，两物体刚好位于其水平直径的两端，释放后它们由静止开始运动，求：（1）m到达半圆

Question

B如图所示，两物体的质量分别为M和m（M＞m），用细绳连接后跨在半径为R的固定光滑半圆柱体上，两物体刚好位于其水平直径的两端，释放后它们由静止开始运动，求：
（1）m到达半圆柱体顶端时的速度；
（2）m到达半圆柱体顶端时，M的机械能是增加还是减少，改变了多少？

Answer 1

（1）系统机械能守恒，取m、M的起始位置为重力势能零点，则：
E ₁ =0； E ₂ =mgR+（-Mg⋅ (πR)/(2) ）+ (1)/(2) （M+m）v ²
由E ₁ =E ₂ 即 0=mgR+（-Mg⋅ (πR)/(2) ）+ (1)/(2) （M+m）v ²
解得 v=

(gR(πM-2m))/(M+m)

．
（2）初始位置M的机械能为：E _M1 =0
m在圆柱体顶时M的机械能为：
E _M2 =-Mg⋅ (πR)/(2) + (1)/(2) Mv ² = -(MmgR(π+2))/(2(M+m))
所以M的机械能减少，减少了 (MmgR(π+2))/(2(M+m)) ．
答：（1）m到达半圆柱体顶端时的速度为 v=

(gR(πM-2m))/(M+m)

．
（2）M的机械能减少，减少了 (MmgR(π+2))/(2(M+m)) ．