三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是62，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（）A.2πB.4πC.8πD.16π

Question

三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是

(√(6))/(2)，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（　　）

A. 2π

B. 4π

C. 8π

D. 16π

Answer 1

M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角，
当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．
此时(AP)/(PM)=(√(6))/(2)，PM=(√(2))/(√(3))，
在Rt△PBC中，PB•PC=BC•PM⇒PC=√(11+PC2)×(√(2))/(√(3))⇒PC=√(2)．
三棱锥P-ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为√(1+1+2)=2，
∴三棱锥P-ABC的外接球的半径为R=1，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=4π．
故选：B．