如图，一次函数y=2x-6与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是等腰三角形？若存在，

Question

如图，一次函数y=2x-6与反比例函数y=(k)/(x)（k＞0）的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵反比例函数y=(k)/(x)（k＞0）的图象过点A（4，2），
∴2=(k)/(4)，解得k=8．
所以反比例函数解析式为y=(8)/(x)，
∵直线y=2x-6与x轴交于点B，∴当y=0时，2x-6=0，解得x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．

（2）AB=√((4−3)2+22)=√(5)，
当B是等腰三角形的顶角顶点时，BC=AB，则OC=3+√(5)或3-√(5)，即C的坐标C₁（3+√(5)，0）；C₂（3-√(5)，0）；
当A是等腰三角形的顶角的顶点时，AC=AB，过A作AD⊥x轴于点D，则BD=DC=4-3=1，则OC=3+1+1=5，则C的坐标是（5，0）；
当C是等腰三角形的顶角的顶点时，AB的中点是（(7)/(2)，1），则设过AB的中点与C的直线的解析式是：y=-(1)/(2)x+b，把（(7)/(2)，1）代入得：-

作业帮用户 2017-10-01

问题解析

（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得k的值，得到函数的解析式；在一次函数y=2x-6中，令y=0，即可求得B的横坐标；
（2）分A、B、C分别是等腰三角形的顶角顶点，三种情况进行讨论，即可求解．

名师点评

本题考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

考点点评：

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及等腰三角形的性质，正确对C的位置进行讨论是关键．

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