如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点M在y轴负半轴上，且M（0，-1）．在抛物

Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点M在y轴负半轴上，且M（0，-1）．在抛物线上是否存在点N，使以B、A、M、N为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点N的坐标；不存在，说明理由．
（3）如图3，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，请画出图形，并求出点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，
将点B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0
解得：a=-1，
∴解析式为：y=-（x-1）²+4；

（2）如图2，当MN∥AB时，
∵0=-（x-1）²+4；
∴x₁=-1，x₂=3，
∴AB=4，
∵M（0，-1），
∴-1=-（x-1）²+4，
解得：x₁=1+√(5)，x₂=1-√(5)，
∴MN=√(5)-1≠AB，MN′=1+√(5)≠AB，
∴此时四边形ANMB是梯形，四边形AMN′B是梯形，N（1-√(5)，-1），N′（-1-√(5)，-1），
当AM∥BN″时，
∵A（-1，0），M（0，-1），设直线AM的解析式为y=kx+b，
则√(b＝−1−k+b＝0作业帮用户2017-10-29问题解析（1）利用待定系数即可求得函数的解析式；（2）分别利用当MN∥AB时，当AM∥BN″时，利用梯形的判定一组对边平行不相等的四边形是梯形进而求出即可；（3）在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI，只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI，只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，求得直线EI的解析式，即可求解．名师点评本题考点：二次函数综合题．考点点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法和梯形的判定等知识点，利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法求出是解题关键．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)