在平面内,已知△ABC中,AB=BC=2,∠B=90°,M为BC的中点,BN⊥AM交AC于N,求证：∠CMN=∠BMA

Question

在平面内,已知△ABC中,AB=BC=2,∠B=90°,M为BC的中点,BN⊥AM交AC于N,求证：∠CMN=∠BMA

Answer 1

以B为原点,BC为x轴,BA为y轴建立平面直角坐标系,设A坐标(0,2),则B坐标(2,0),M坐标(1,0),设直线AM方程为y=kx+b,把A、M代入得：y=-2x+2,同样解得AC方程为y=-x+2,∵BN⊥AM,∴直线BN的斜率为1/2且过原点,即BN方程为y=x/2,联立AC和BN得方程组{y=-x+2,y=x/2}解得点N坐标为(4/3,2/3),tanCMN=(2/3)/(4/3-1)=2,tanBMA=2/1=2,∴∠CMN=∠BMA,解毕.