如图,已知直线y=ax+b（a≠0）与双曲线y=k/x(k≠0)交于A、B两点,且A（2,1）,点B的纵坐标为2．（1）求双曲线的解析式；（2）求直线的解析式；（3）求线段AB的长；（4）问在双曲线上是否存在点C

Question

如图,已知直线y=ax+b（a≠0）与双曲线y=k/x(k≠0)交于A、B两点,且A（2,1）,点B的纵坐标为2． （1）求双曲线的解析式；（2）求直线的解析式； （3）求线段AB的长；（4）问在双曲线上是否存在点C,使△ABC的面积等于3?若存在,求出点C的坐标；若不存在,说明理由（结果不需要分母有理化）

Answer 1

∵A在双曲线上,双曲线为y=k/x
∴1=k/2,即k=2
则双曲线解析式为y=2/x
∵B在双曲线上,且纵坐标为2
∴2=2/x,即x=1
∴B坐标为(1,2)
∵A、B在直线y=ax+b上
∴将A、B坐标代入,得1=2a+b；2=a+b,即a=-1,b=3
∴直线解析式为y=-x+3
3.A(2,1),B(1,2)
则线段AB长度|AB|=√[(2-1)²+(1-2)²]=√2
设点C坐标为(m,2/m)
则C到AB的间隔h=|(1*m+1*2/m-3)/√(1²+1²)|=|(m+2/m-3)/√2|
又∵△ABC面积=3,即1/2*h*|AB|=3,则h=3√2
即|(m+2/m-3)/√2|=3√2
即|m+2/m-3|=6
当m+2/m-3=6时,m+2/m=9,即m²-9m+2=0,应用求根公式可得m=(9±√73)/2
当m+2/m-3=-6时,m+2/m=-3,即m²+3m+2=0,即m=-1或m=-2
综上所述,存在4个C点,辨别为：
(-1,-2),(-2,-1),((9+√73)/2,4/(9+√73)),((9-√73)/2,4/(9-√73))