的图象经过A、B两点，点A、B的横坐标分别为2、4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积等于4．（1）求k的值；（2）求直线AB的函数值小于反比例函数的值的x的取值范围；（3）求△AOB的面积

Question

的图象经过A、B两点，点A、B的横坐标分别为2、4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积等于4．
（1）求k的值；
（2）求直线AB的函数值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△POA为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A的横坐标为2，
∴OC=2，
又∵Rt△AOC的面积等于4，
∴，
此时P₂的坐标为（2，0）；
当AP₃=OP₃时，△P₃OA为等腰三角形，
此时P₃为OA垂直平分线与x轴的交点，
取OA的中点为M，作MN⊥x轴，
∵O（0，0），A（2，4），
∴M（1，2），
∴MN=2，ON=1，
∵∠OMN+∠NMP₃=90°，∠MON+∠OMN=90°，
∴∠NMP₃=∠MON，又∠MNO=∠MNP₃=90°，
∴△MON∽△P₃MN，
∴MN²=ON•NP₃，即4=1•NP₃，
可得NP₃=4，则OP₃=ON+NP₃=1+4=5，
此时P₃的坐标为（5，0）．
综上，满足题意的坐标为P₁（4，0）；P₂（2，0）；P₃（5，0）．