已知函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A.1-log20132012B.-1C.-log20132012D.1

Question

已知函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为（　　）
A. 1-log₂₀₁₃2012
B. -1
C. -log₂₀₁₃2012
D. 1

Answer 1

∵函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，
∴P（1，1），
∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，
故y=xⁿ⁺¹在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
令y=0可得x=(n)/(n+1)，
即该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=(n)/(n+1)，
所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃(1)/(2)×(2)/(3)×(3)/(4)×…×(2012)/(2013)=log2013(1)/(2013)=-1，
故选B．