已知函数f（x）=ex（13x3-2x2+（a+4）x-2a-4），其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）关于x的不等式f（x）<-43ex在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）极值点的个数．

Question

已知函数f（x）=e^x（(1)/(3)x³-2x²+（a+4）x-2a-4），其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）关于x的不等式f（x）<-(4)/(3)e^x在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数．

Answer 1

（1）由f（x）<-(4)/(3)e^x，得e^x（(1)/(3)x³-2x²+（a+4）x-2a-4）<-(4)/(3)e^x，
即x³-6x²+（3a+12）x-6a-8<0对任意x∈（-∞，2）恒成立，
即（6-3x）a>x³-6x²+12x-8对任意x∈（-∞，2）恒成立，
因为x<2，所以a>(x3-6x2-8)/(-3(x-2))=-(1)/(3)（x-2）²，
记g（x）=-(1)/(3)（x-2）²，因为g（x）在（-∞，2）上单调递增，且g（2）=0，
所以a≥0，即a的取值范围为[0，+∞）；
（2）由题意，可得f′（x）=e^x（(1)/(3)x³-x²+ax-a），可知f（x）只有一个极值点或有三个极值点．
令g（x）=(1)/(3)x³-x²+ax-a，
①若f（x）有且仅有一个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g（x）为单调递增函数或者g（x）极值同号．
（ⅰ）当g（x）为单调递增函数时，g′（x）=x²-2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．
（ⅱ）当g（x）极值同号时，设x₁，x₂为极值点，则g（x₁）•g（x₂）≥0，
由g′（x）=x²-2x+a=0有解，得a<1，且x₁²-2x₁+a=0，x₂²-2x₂+a=0，
所以x₁+x₂=2，x₁x₂=a，
所以g（x₁）=(1)/(3)x₁³-2x₁²-2+ax₁-a=(1)/(3)x₁（2x₁-a）-(1)/(3)x₁+ax₁-a
=-(1)/(3)（2x₁-a）-(1)/(3)ax₁+ax₁-a=(2)/(3)[（a-1）x₁-a]，
同理，g（x₂）=(2)/(3)[（a-1）x₂-a]，
所以g（x₁）g（x₂）=(2)/(3)[（a-1）x₁-a]•(2)/(3)[（a-1）x₂-a]≥0，
化简得（a-1）²x₁x₂-a（a-1）（x₁+x₂）+a²≥0，
所以（a-1）²a-2a（a-1）+a²≥0，即a≥0，
所以0≤a<1．
所以，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点；
②若f（x）有三个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a<0．
综上，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点，当a<0时，f（x）有三个极值点．