已知f（x）定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）>1-f′（x），且f（0）=2，则不等式exf（x）>ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.（0，+∞）B.（-∞，0）

Question

已知f（x）定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）>1-f′（x），且f（0）=2，则不等式e^xf（x）>e^x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

A. （0，+∞）

B. （-∞，0）∪（1，+∞）

C. （-1，+∞）

D. （-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）>1-f′（x），
∴f（x）+f′（x）-1>0，
∴g′（x）>0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵e^xf（x）>e^x+1，
∴g（x）>1，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=1，
∴g（x）>g（0），
∴x>0，
∴不等式的解集为（0，+∞）
故选：A