已知a>2,求证：以（a-1）为底,a的对数大于以a为底,（a+1）的对数.

Question

已知a>2,求证：以（a-1）为底,a的对数大于以a为底,（a+1）的对数.

Answer 1

用lg(x)表示底为10,x的对数.
因为a>2,所以：
lg(a)、lg(a-1)、lg(a+1)、lg(a^2-1)、lg(a^2)都是正数.
lg(a-1) * lg(a+1)
< (1/4) * [ lg(a-1) + lg(a+1) ]^2 ……（说明：xy < (1/4)(x+y)^2）
= (1/4) * [ lg(a^2-1) ]^2
< (1/4) * [ lg(a^2) ]^2
= (1/4) * [ 2lg(a) ]^2
= [lg(a)]^2
所以：
lg(a) / lg(a-1) > lg(a+1) / lg(a)
即：以（a-1）为底,a的对数大于以a为底,（a+1）的对数