已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,外接圆半径是2,且满足条件1/4（a^2-c^2）=(a-b)sinB(1)求∠C(2)求△ABC面积的最大值

Question

已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,外接圆半径是2,且满足条件
1/4（a^2-c^2）=(a-b)sinB
(1)求∠C
(2)求△ABC面积的最大值

Answer 1

已知ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,外接圆半径是2,且满足条件
(1/4)(a²-c²)=(a-b)sinB；(1).求∠C；(2).求△ABC面积的最大值.
(1).由正弦定理,可知a=4sinA,b=4sinB,c=4sinC,
∴cosC=(a²+b²-c²)/2ab=16(sin²A+sin²B-sin²C)/(32sinAsinB)
=(sin²A+sin²B-sin²C)/(2sinAsinB).(1)
由(1/4)(a²-c²)=(a-b)sinB,得4(sin²A-sin²C)=4(sinA-sinB)sinB,
即有sin²A-sin²C=(sinA-sinB)sinB；
故得sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB.(2)
将(2)代入(1)式,得：cosC=sinAsinB/(2sinAsinB)=1/2,故C=π/3.
(2).S△ABC=(1/2)absinC=(1/2)absin(π/3)=(√3/4)ab≦(√3/4)(a²+b²)/2.
当且仅仅当a=b时等号成立,而a=b时,由于C=π/3,故此时△ABC是等边三角形；
a=b=4sin(π/3)=2√3；故maxS△ABC=(√3/4)(12+12)/2=3√3.