设有齐次线性方程组(1+a)x1+x2+x3+x4＝02x1+(2+a)x2+2x3+2x4＝03x1+3x2+(3+a)x3+3x4＝04x1+4x2+4x3+(4+a)x4＝0，试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

Question

设有齐次线性方程组

(1+a)x1+x2+x3+x4＝0 

2x1+(2+a)x2+2x3+2x4＝0 

3x1+3x2+(3+a)x3+3x4＝0 

4x1+4x2+4x3+(4+a)x4＝0 

，试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

Answer 1

方程组的系数行列式为：
|A|＝

.

1+a	1	1	1
2	2+a	2	2
3	3	3+a	3
4	4	4	4+a

.

＝a3(a+10)，
由克莱姆法则知：
当|A|=0时，即a=0或a=-10时，方程组有非零解，
①当a=0时，
对系数矩阵A作初等行变换，有：
A＝

1	1	1	1
2	2	2	2
3	3	3	3
4	4	4	4

ri−r1(i＝2，3，4)

.

.

1	1	1	1
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

.

由于r（A）=1＜4，因而方程组有无穷多解，
取x₂，x₃，x₄为自由变量，则：
x₁=-x₂-x₃-x₄，
令：(x2，x3，x4)T为单位向量组，解得其基础解系
η1＝(−1，1，0，0)T，

作业帮用户 2017-10-11