规定：若a+b+c=3（.abc的积的立方根）.(当且仅当a=b=c时不等式取得等号),根据上述规定,则x2(1-2x)的最大值为

Question

规定：若a+b+c=3 （.abc的积的立方根）.(当且仅当a=b=c时不等式取得等号),根据上
述规定,则x2(1-2x)的最大值为

Answer 1

这是一道关于不等式的题目,出题范畴应该是属于高中的.
a+b+c≥3(abc立方根） 当且仅当 a=b=c时取到等号,这是一个很经典的不等式.
那么回归题目,我来讲思路.
首先看到 x^2(1-2x) 求最大值.最大值利用不等于要想到是让此式小于等于某一项.
即 应该满足
x^2(1-2x) ≤
这里的问号是什么呢?
我们看到题设里给的不等式的右边 是小于等于左边,而且还是乘积形式,那么我们就利用上式来写出这个问号.
对a+b+c≥3(abc立方根）变形.不等于两边除以3后,再两边进行立方运算,即可得
abc≤ [(a+b+c)/3]^3 即 abc是小于等于 （ a+b+c ）/3 的立方的.
那么就很好办了,我们要找出这里的 a,b,c 是什么 .看到原式x^2(1-2x) 是两项的乘积,我们改写成三项,即
x^2(1-2x) =x · x · （1-2x）≤ [(x+x+1-2x)/3]^3 = 1/27 即 答案为 1/27 ,当且仅当x=x=1-2x,即x=1/3时取到最大值
这里注意,为什么把x的平方拆成 x ·x ,因为 最后要满足 a=b=c 成立才能取到等号.千万别盲目地拆项,不然最后无法满足 等号成立条件,得出的答案是不正确的.
不等于是较难的部分,建议同学多多练习,熟悉基本不等式以及拓展
用 不等于两大关键：一为等号成立条件,即这里的 a=b=c 成立条件,还有就是注意不等号的方向,有时候证明题目难,会发现,不等号的方向怎么都不正确,这是因为用错了证明方法而导致不等号错误.