已知函数f(X)=X*X+b*X+c,A={X|f(X)=X},B={X|f(X-1)=X+1},当A={2}时,求集合B.

Question

已知函数f(X)=X*X+b*X+c,A={X|f(X)=X},B={X|f(X-1)=X+1},当A={2}时,求集合B.

Answer 1

显然f（x）为二次函数,集合A可以理解为y=f(x)的图像（抛物线）与直线y=x相交点的横坐标的集合.
当A={2}时,集合A只有一个元素,也就是说,抛物线的图像与直线只有一个交点,那是什么情况呢?只能是在x=2处相切吧!所以考虑用导数去求.
代入x=2,f(2)=4+2b+c=2
f'(x)=2x+b,f'(2)=4+b=1
解得：b=-3,c=4
所以f(x)=x^2-3x+4
令f(x-1)=x+1
即(x-1)^2-3(x-1)+4=x+1
下面解二次方程即可,解得x=3-√2或3+√2
所以B={3-√2,3+√2}.