高数证明题（急）设函数f(x)在[0,1]有连续导数,在区间（0,1）内二阶可导且f(0)＝f(1)=0,证明在（0,1）么内至少存在一点ε,使得2f’(ε)＋εf“(ε)＝0

Question

高数证明题（急）
设函数f(x)在[0,1]有连续导数,在区间（0,1）内二阶可导且f(0)＝f(1)=0,证明在（0,1）么内至少存在一点ε,使得2f’(ε)＋εf“(ε)＝0

Answer 1

F(x)=x^2f'(x), F'(x)=x(2f'(x)+xf''(x)),注意到F(0)=0, f(0)=f(1)=0和罗尔中值定理得存在c位于(0 1)使得f'(c)=0,于是F'(c)=0,故再由罗尔中值定理得存在e位于(0 c)之间使得F'(e)=0,即结论成立.