在（1+x+x2）n=D0n+D1nx+D2nx2+…+Drnxr+…+D2n−1nx2n-1+D2nnx2n的展开式中，把D01，D1n，D2n，…，D2nn叫做三项式系数．（1）当n=2时，写出三项式系数D02，D12，D22，D32，D42的值；（2）类比二项

Question

在（1+x+x²）ⁿ=D

0n

+D

1n

x+D

2n

x²+…+D

rn

x^r+…+D

2n−1n

x^2n-1+D

2nn

x²ⁿ的展开式中，把D

01

，D

1n

，D

2n

，…，D

2nn

叫做三项式系数．
（1）当n=2时，写出三项式系数D

02

，D

12

，D

22

，D

32

，D

42

的值；
（2）类比二项式系数性质C

mn+1

=C

m−1n

+C

mn

（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数D

m+1n+1

（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明；
（3）求D

02014

C

02014

-D

12014

C

12014

+D

22014

C

22014

-D

32014

C

32014

+…+D

20142014

C

20142014

的值．

Answer 1

（1）因为（1+x+x²）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
所以

D

02

＝1，

D

12

＝2

，D

22

＝3

，D

32

＝2，

D

42

＝1．
（2）类比二项式系数性质

C

mn+1

＝

C

m−1n

+

C

mn

（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：

D

m+1n+1

＝

D

m−1n

+

D

mn

+

D

m+1n

，（1≤m≤2n-1）
因为（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ，
所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（D

0n

+D

1n

x+D

2n

x²+…+D

rn

x^r+…+D

2n−1n

x^2n-1+D

2nn

x^2n）．
上式左边x^m+1的系数为

D

m+1n+1

，
而上式右边x^m+1的系数为

D

m+1n

+D

mn

+

D

m−1n

，
由（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ为恒等式，得
：

D

m+1n+1

＝

D

m−1n

+

D

mn

+

D

m+1n

，（1≤m≤2n-1）；
（3）∵（1+x+x²）²⁰¹⁴=D

02014

x⁰-D

12014

x¹+D

22014

x²-D

32014

x³+…+D

20142014

x²⁰¹⁴，
（x-1）²⁰¹⁴=C

02014

x²⁰¹⁴-C

12014

x²⁰¹³+C

22014

x²⁰¹²-…+C

20142014

．
∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴中x²⁰¹⁴系数为D

02014

C

02014

-D

12014

C

12014

+D

22014

C

22014

-D

32014

C

32014

+…+D

20142014

C

20142014

，
又∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴=（x³-1）²⁰¹⁴            
而二项式（x³-1）²⁰¹⁴ 的通项Tr+1＝<

作业帮用户 2016-12-12

问题解析

（1）因为（1+x+x²）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，继而求得相应的值．
（2）类比二项式系数的性质可得三项式系数的性质，展开计算即可．
（3）分别写出（1+x+x²）²⁰¹⁴和（x-1）²⁰¹⁴的展开式，而（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴=（x³-1）²⁰¹⁴，二项式（x³-1）²⁰¹⁴ 的通项Tr+1＝

C

r 2014

(x3)2014−r，得到的展开式中没有x²⁰¹⁴项，问题得以解决．

名师点评

本题考点：

二项式定理的应用．

考点点评：

本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．

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