已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．

Question

已知（1+3x）ⁿ的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

由题意，∵末三项的二项式系数分别为C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n⁰=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
（1）∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
展开式中二项式系数最大的项为第8.9项，T₈=T₉=C₁₅⁷3⁷x⁷和T₉=C₁₅⁸3⁸x⁸
（2）T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
设第r+1项与第r项的系数分别为t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r则可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴当r取小于12的自然数时，都有t_r＜t_r+1
当r=12时，t_r+1=t_r
∴展开式中系数最大的项为T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²