证明二项式系数平方的和等于(2n)!/n!*n!

Question

证明二项式系数平方的和等于(2n)!/n!*n!

Answer 1

要想证明二项式系数平方的和等于(2n)!/n!*n!,即证明二项式系数平方和等于组合数C(n,2n) {说明一下,n是C的上标,2n是C的下标},因为组合数C(n,2n)=(2n)!/n!*n!证明：
由二项式定理得
(1+x)^n=∑C(k,n)*x^k
所以 (1+x)^(2n)=
[C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n]*[C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n]
=...+[C(0,n)*C(n,n)+C(1,n)*C(n-1,n)+...+C(n,n)*C(0,n)]x^n+...
也就是说,在(1+x)^(2n)的展开式中,x^n的系数是:
∑C(k,n)*C(n-k,n)=∑[C(k,n)]^2. 另一方面,据二项式定理得:
(1+x)^(2n)=∑[C(k,2n)]*x^k.
即x^k的系数为C(n,2n). 由此可得:∑[C(k,n)]^2=C(n,2n). 从而也就证明二项式系数平方的和等于(2n)!/n!*n!