试说明:任意两个奇数的平方差必是8的整数倍开头如下:设一个奇数为2m+1另一个奇数为2n+1mn为任意整数(2m+1)平方-(2n+1)平方=m不等于n

Question

试说明:任意两个奇数的平方差必是8的整数倍
开头如下:
设一个奇数为2m+1 另一个奇数为2n+1 m n为任意整数
(2m+1)平方-(2n+1)平方=
m不等于n

Answer 1

证明：
（2m+1）^2=4m^2+4m+1
(2n+1)^2=4n^2+4n+1
(2m+1)^2-(2n+1)^2=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1
=4(m^2-n^2)+4(m-n)
=4(m+n)(m-n)+4(m-n)
=4(m-n)(m+n+1)
若m,n都为奇数,那么,m-n就肯定是偶数,也就是说m-n肯定是2的倍数,所以4（m-n）肯定就是8的倍数；即：4（m+n）（m+n+1）为8的倍数
若m,n为一奇一偶,那么m+n+1就肯定是偶数,也就是说,4（m+n+1）肯定是2的倍数,所以4（m+n+1）肯定是8的倍数；即：4（m+n）（m+n+1）为8的倍数
所以任何两个奇数的平方差都为8的整数倍