三个奇数的平方和可否为某个整数的平方?请证明

Question

三个奇数的平方和可否为某个整数的平方?请证明

Answer 1

假设三个奇数的平方和可以为某个整数的平方
令三个奇数分别为2m+1、2n+1、2p+1
显然(2m+1)^2+(2n+1)^2+(2p+1)^2为奇数
注意到偶数的平方为偶数,奇数的平方为奇数
那么这个整数必为奇数
不妨令这个整数（奇数）为2q+1（q>max{m,n,p}）
于是有(2m+1)^2+(2n+1)^2+(2p+1)^2=(2q+1)^2
即(2m+1)^2+(2n+1)^2=(2q+1)^2-(2p+1)^2
即2(m^2+n^2+m+n)+1=2(q-p)(q+p+1)（I）
显然2(m^2+n^2+m+n)+1为奇数
而2(q-p)(q+p+1)为偶数
也就是说（I）式矛盾
所以假设不成立
即三个奇数的平方和不可以是某个整数的平方