若多项式f(x)被x-1和x+1所除的余数均为1,而被x-2所除的余数为-5,试求f(x)被套x^2-1)(x-2)所除的余式.

Question

若多项式f(x)被x-1和x+1所除的余数均为1,而被x-2所除的余数为-5,试求f(x)被套x^2-1)(x-2)所除的余式.

Answer 1

设f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)g(x)+r(x)=(x^2-1)(x-2)+r(x)； 根据题意：f(1)=f(-1)=1,f(2)=-5,所以r(1)=r(-1)=1,r(2)=-5,设r(x)=ax^2+bx+c,将r(1)=r(-1)=1和r(2)=-5代入r(x)得： a+b+c=1①a-b+c=1②4a+2b+c=-5③ 联立①②③解得：a=-2,b=0,c=3, 所以r(x)=3-2x^2,所以f(x)被(x^2-1)(x-2)所除的余式为r(x)=3-2x^2(毕)