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已知X,Y是正整数,且M＝X^2+Y+1,N=Y^2+4X+3.求证：M,N不可能同时都是完全平方数.
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已知X,Y是正整数,且M＝X^2+Y+1,N=Y^2+4X+3.求证：M,N不可能同时都是完全平方数.
▼优质解答
答案和解析
反证法
证明：如果M是完全平方数
则：M=（x+1）² ===> x²+2x+1=X^2+Y+1 ===> Y=2x 代入 N：
N= Y^2+4X+3=4x²+4x+3=（2x+1）²+2 显然不是完全平方数
如果N是完全平方数
则：N=Y^2+4X+3 ===> （Y+√3）²=Y^2+4X+3===>2√3Y=4X===>Y=2√3X/3 代入M：
M=X^2+Y+1=X²+2√3X/3+1=（X+√3/3）²+2/3 不是完全平方数
因此：M、N不可能同时为完全平方数
证明：如果M是完全平方数
则：M=（x+1）² ===> x²+2x+1=X^2+Y+1 ===> Y=2x 代入 N：
N= Y^2+4X+3=4x²+4x+3=（2x+1）²+2 显然不是完全平方数
如果N是完全平方数
则：N=Y^2+4X+3 ===> （Y+√3）²=Y^2+4X+3===>2√3Y=4X===>Y=2√3X/3 代入M：
M=X^2+Y+1=X²+2√3X/3+1=（X+√3/3）²+2/3 不是完全平方数
因此：M、N不可能同时为完全平方数
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