设L是柱面x2+y2=1和平面y+z=0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分∮Lzdx+ydz=．

Question

设L是柱面x²+y²=1和平面y+z=0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分∮_Lzdx+ydz=______．

Answer 1

由斯托克斯公式

∮

L

Pdx+Qdy+Rdz=

∬

.

dydz	dzdx	dxdy
(∂)/(∂x)	(∂)/(∂y)	(∂)/(∂z)
P	Q	R

.

可知
∮_Lzdx+ydz=

∬

.

dydz	dzdx	dxdy
(∂)/(∂x)	(∂)/(∂y)	(∂)/(∂z)
z	0	y

.

=

∬

dydz+dxdy
其中Σ：

y+z＝0

x2+y2≤1

取上侧，Dxy＝{(x，y)|x2+y2≤1}．
因而∑在yoz面的投影为0，
∴∮_Lzdx+ydz=

∬

dxdy＝

∬

Dxy

dxdy＝π．