如图1所示，在xoy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1；第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的匀强磁场B，E2=2.5N/C，磁场B随时间t周期性变化的规律如图2所示

Question

如图1所示，在xoy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E₁；第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E₂和垂直纸面的匀强磁场B，E₂=2.5N/C，磁场B随时间t周期性变化的规律如图2所示，B₀=0.5T，垂直纸面向外为磁场正方向．一个质量为m、电荷量为q的带正电液滴从P点（0.6m，0.8m）处以速度v₀=3m/s沿x轴负方向入射，恰好以指向y轴负方向的速度v经过原点O后进入x≤0的区域．已知：m=5×10^-5kg，q=2×10^-4C，t=0时液滴恰好通过O点，g取10m/s²．

（1）求电场强度E₁和液滴到达O点时速度v的大小；
（2）液滴从P点开始运动到第二次经过x轴所需的时间；
（3）若从某时刻起磁场突然消失，发现液滴恰好能垂直穿过x轴并平行y轴作匀速直线运动，求液滴与x轴的交点到坐标原点O的距离．

Answer 1

（1）液滴在x>0的区域内受竖直向下的重力和水平向右的电场力的作用．
液滴在竖直方向上做自由落体运动，则
 y=(1)/(2)gt² ；     
 v=gt
解得：v=4m/s
液滴在水平方向上做匀减速运动
 v₀=at     
由牛顿第二定律有 E₁q=ma
联立得 E₁=1.875N/C
（2）液滴进入x<0的区域后，由于 E₂q=mg，液滴运动轨迹如图1所示，其做圆周运动的大、小圆半径分别为r₁、r₂，运动周期分别为T₁、T₂．则
 qvB₀=m(v2)/(r1)
 2qvB₀=m(v2)/(r2)
代入解得 r₁=2 m，r₂=1 m
周期 T₁=(2πm)/(qB0)，T₂=(πm)/(qB0)，即得：T₁=π s，T₂=0.5π s
液滴从P点到第二次穿过x轴经过的时间t_总：
 t_总=t+(T1)/(4)+(T2)/(4)=（(π)/(2)+0.4）s
（3）若磁场消失时，液滴在x轴上方，如图所示．
由几何知识可得，液滴与x轴的交点到坐标原点O的距离 S₁=（r₁-r₂）+n•2r₂=（1+2n）m，（n=0，1，2，…）
若磁场消失时，液滴在x轴下方，如图所示．
由几何知识可得，液滴与x轴的交点到坐标原点O的距离 S₂=（r₁+r₂）+k•2r₂=（3+2n）m，（k=0，1，2，…）
答：
（1）电场强度是1.875N/C，液滴到达O点时速度v的大小是4m/s；
（2）液滴从P点开始运动到第二次经过x轴所需的时间是（(π)/(2)+0.4）s；
（3）液滴与x轴的交点到坐标原点O的距离为（1+2n）m，（n=0，1，2，…）或（3+2n）m，（k=0，1，2，…）．