求2^x+3^y=z^2的非负整数解已经找到两组解(3,0,3)和(0,1,2),哪位高手能证明没有其它非负整数解?

Question

求2^x+3^y=z^2的非负整数解
已经找到两组解(3,0,3)和(0,1,2),哪位高手能证明没有其它非负整数解?

Answer 1

z为偶数时,有一组解x=0,y=1,z=2;
z为奇数时,其平方被4除余1.
因此y为偶数2p,否则3^y被4除余3.
2^x+3^(2p)=z^2
2^x=(z+3^p)(z-3^p),所以有：
z+3^p=2^n
z-3^p=2^(x-n),n>x-n,n>x/2
两式相减得：
2*3^p=2^(x-n)[2^(2n-x)-1],即3^p=2^(x-n-1)[2^(2n-x)-1]
所以有：x-n-1=0,n=x-1,
3^p=2^(2n-x)-1=2^(x-2)-1,此方程只有两组p=1,x=4; p=0,x=3,
所以共有三组
x=0,y=1,z=2
x=3,y=0,z=3
x=4,y=2,z=5