以100为分母的所有最简真分数的和等于．

Question

以100为分母的所有最简真分数的和等于______．

Answer 1

设以100为分母的最简真分数为(p)/(100)，且1≤p≤99．
因为(p)/(100)是最简分数，所以p和100不能有大于1的公因数，即p不能有因数2和5．
以2为因数小于100的数（偶数）之和为：
2+4+6+…+96+98=49×50=2450．
以5为因数小于100的数之和为：
5+10+15+…+90+95=(5)/(2)×19×20=950．
以10为因数小于100的数之和为：
10+20+30+…+90=(10)/(2)×9×10=450．
小于100且不以2或5为因数的数之和为：
2450+950-450=2950．
所以以100为分母的所有最简真分数的和等于：
（(1)/(100)+(2)/(100)+…+(99)/(100)）-(2950)/(100)
=(1)/(100)×(99×100)/(2)-29.5
=20．
故答案为：20．