设f（n）为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=12+22+32=14．记f1（n）=f（n），fk+1（n）=f（fk（n）），k=1，2，3，…，则f2006（2006）=（）A．20B．4C．42D．145

Question

设f（n）为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=1²+2²+3²=14．记f₁（n）=f（n），f_k+1（n）=f（f_k（n）），k=1，2，3，…，则f₂₀₀₆（2006）=（　　）

A．20
B．4
C．42
D．145

Answer 1

由题意f（2006）=2²+0²+0²+6²=40，f（f（2006））=f（40）=4²+0²=16，f（16）=1²+6²=37，f（37）=3²+7²=58，f（58）=5²+8²=89，f（89）=8²+9²=145，f（145）=1²+4²+5²=42，f（42）=20，f（20）=4，
f（4）=16，
f（16）=37，f（37）=58，f（58）=f（85）…11次一个循环，
f₂₀₀₆（2006）=f（f（f（f（f（…f（2006）…）））））），共有2006次计算，所以表达式取得2006次计算后，经过182次循环，余下4次计算，计算f（89）=8²+9²=145，所以f₂₀₀₆（2006）=145．
故选：D．