设fk(n)=c0+c1n+c2n2+…+cknk(k∈N)，其中c0，c1，c2，…，ck为非零常数，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）．（1

Question

设 f k (n)= c 0 + c 1 n+ c 2 n 2 +…+ c k n k (k∈N) ，其中c ₀ ，c ₁ ，c ₂ ，…，c _k 为非零常数，数列{a _n }的首项a ₁ =1，前n项和为S _n ，对于任意的正整数n，a _n +S _n =f _k （n）．
（1）若k=0，求证：数列{a _n }是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{a _n }能成等差数列．

Answer 1

（1）证明：∵k=0，则f _k （n）即f ₀ （n）为常数，不妨设f ₀ （n）=c（c为常数）．
因为a _n +S _n =f _k （n）恒成立，所以a ₁ +S ₁ =c，即c=2a ₁ =2．
而且当n≥2时，由a _n +S _n =2 可得①a _n-1 +S _n-1 =2，②，把①-②可得 2a _n -a _n-1 =0（n∈N，n≥2）．
若a _n =0，则a _n-1 =0，…，a ₁ =0，与已知矛盾，所以 a n ≠0(n∈ N * ) ．
故数列{a _n }是首项为1，公比为 (1)/(2) 的等比数列．
（2）（i） 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．
（ii） 若k=1，设f ₁ （n）=bn+c（b，c为常数），则 当n≥2时，由a _n +S _n =bn+c ③，可得a _n-1 +S _n-1 =b（n-1）+c．④
③-④得 2a _n -a _n-1 =b（n∈N，n≥2）．要使数列{a _n }是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有a _n =b-d（常数），
而a ₁ =1，故{a _n }只能是常数数列，通项公式为a _n =1（n∈N ^* ），
故当k=1时，数列{a _n }能成等差数列，其通项公式为a _n =1（n∈N ^* ），此时f ₁ （n）=n+1．
（iii） 若k=2，设 f 2 (n)=a n 2 +bn+c （a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，由 a n + S n =a n 2 +bn+c  ⑤，可得 a n-1 + S n-1 =a(n-1 ) 2 +b(n-1)+c  ⑥，
⑤-⑥得 2a _n -a _n-1 =2an+b-a（n∈N，n≥2）．
要使数列{a _n }是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有a _n =2an+b-a-d，且d=2a，
考虑到a ₁ =1，所以a _n =1+（n-1）•2a=2an-2a+1（n∈N ^* ）．
故当k=2时，数列{a _n }能成等差数列，其通项公式为a _n =2an-2a+1（n∈N ^* ），
此时 f 2 (n)=a n 2 +(a+1)n+1-2a （a为非零常数）．
 （iv） 当k≥3时，若数列{a _n }能成等差数列，则a _n +S _n 的表达式中n的最高次数为2，故数列{a _n }不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a _n }能成等差数列．