相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小?求出该点处的曲率半径

Question

相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小?求出该点处的曲率半径

Answer 1

可得：
y'=1/x
y"=-1/(x^2)
则
1+(y')^2=1+1/x^2=(x^2+1)/(x^2)
|y"|=1/(x^2)
所以,曲率为
k=(|y"|^2)/{[1+(y')^2]^(3/2)}
曲率半径为
r=1/k
={[1+(y')^2]^(3/2)}/(|y"|^2)
={[(1+x^2)^3](x^2)}^(1/2)
设有函数f(t)=t(1+t)^3,t＞0,可知f(t)与[f(t)]^(1/2)同时取得最小值,
求导并令导数为0,则
f'(t)=(1+t)^3+t×3(1+t)^2=0
解得t=-1或-1/4,但t＞0,故无解,即f(t)递增,且无最小值
所以,原函数y=lnx的曲率半径随x增大而增大,在定义域内无最小曲率半径,
取x→0时,曲率半径r→1.