设级数∞n=1an收敛，an>0，且数列{an}单调递减．试证：limn→+∞nan=0．

Question

设级数

∞

n=1

an收敛，a_n>0，且数列{a_n}单调递减．试证：

lim

n→+∞

nan=0．

Answer 1

证：因为正项级数

∞

n=1

an收敛
所以由级数收敛的柯西准则可知，
对任给的ɛ>0，总存在正整数N，
使得当n>N时，有0<a_N+1+a_N+2+…+a_n<(ɛ)/(2)
又因为数列{a_n}单调递减，
所以当n>N时，a_N+1≥a_N+2≥…≥a_n
于是当n>N时，有0<（n-N）a_n≤a_N+1+a_N+2+…+a_n<(ɛ)/(2)，
取n>2N，则有0<(n)/(2)an<（n-N）a_n≤a_N+1+a_N+2+…+a_n<(ɛ)/(2)
即0<na_n<ɛ（当n>2N时）
故

lim

n→∞

nan=0．
故得证．