以三角形ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACEG,连接EG,试判断三角形ABC与三角形AEG面积之间的关系,并说明理由.

Question

以三角形ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACEG,连接EG,试判断三角形ABC与三角形AEG面积之
间的关系,并说明理由.

Answer 1

△ABC的面积＝△AEG的面积.证明如下：
方法一
∵△ABC的面积＝（1/2）AB×AC×sin∠BAC,△AEG的面积＝（1/2）AE×AG×sin∠EAG.
∵ABDE、ACEG都是正方形,∴AB＝AE,AC＝AG,∠BAE＝∠CAG＝90°.
显然,∠BAC＝180°－∠EAG,∴sin∠BAC＝sin∠EAG.
∴△ABC的面积＝△AEG的面积.
方法二
令BC的中点为M,连AM并延长至N,使AM＝MN.
由AM＝MN,BM＝CM,得：ABNC是平行四边形,∴∠ABN与∠BAC互补,BN＝AC.
∵ABDE、ACEG都是正方形,∴∠BAE＝∠CAG＝90°,∴∠BAC与∠EAG互补.
由∠ABN与∠BAC互补,∠BAC与∠EAG互补,得：∠ABN＝∠EAG.
∵ABDE、ACEG都是正方形,∴AB＝AE,AC＝AG.
由BN＝AC,AC＝AG,得：BN＝AG,结合AB＝AE,∠ABN＝∠EAG,得：△ABN≌△EAG,
∴△ABN的面积＝△EAG的面积.
很明显,∵ABNC是平行四边形,∴△ABN的面积＝ABNC的面积/2＝△ABC的面积,
由△ABN的面积＝△EAG的面积,　△ABN的面积＝△ABC的面积,
得：△ABC的面积＝△AEG的面积.