在复平面内，复数z1=-8+53i，z2=-3，z3=3所对应的点为A、B、C，以A、B、C为顶点的三角形为△ABC（Ⅰ）求∠B（Ⅱ）求以B、C为焦点且过点A的双曲线的方程．

Question

在复平面内，复数z₁=-8+5√(3)i，z₂=-3，z₃=3所对应的点为A、B、C，以A、B、C为顶点的三角形为△ABC
（Ⅰ）求∠B
（Ⅱ）求以B、C为焦点且过点A的双曲线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知点A、B、C的坐标分别为(−8，5√(3))，(−3，0)，(3，0)，…．（1分）
则
法一：|AB|=10，|BC|=6，|AC|=14…（3分）
所以由余弦定理知cosB＝(102+62−142)/(2×10×6)＝−(1)/(2)…（5分）
又B∈（0，π）所以B＝(2)/(3)π…..（6分）
法二：

BA

＝(−5，5√(3))，

BC

＝(6，0)…（3分）
故cosB＝(BA•BC)/(|BA|BC||)＝(−30)/(10×6)＝−(1)/(2)…（5分）
又B∈（0，π）所以B＝(2)/(3)π…（6分）
（Ⅱ）由双曲线的定义可知2a=||AB|-|AC||=|10-14|=4…（9分）
故a=2，又c=3，∴b²=5…（11分）
所以所求双曲线的方程为(x2)/(4)−(y2)/(5)＝1…（12分）